Sau khi làm quen với các hàm lượng giác thì các dạng bài bác tập về phương trình lượng giác chính là nội dung tiếp theo sau mà những em vẫn học trong công tác toán lớp 11.
Bạn đang xem: Phương pháp giải phương trình lượng giác
Vậy phương trình lượng giác có những dạng toán nào, phương thức giải ra sao? họ cùng tìm hiểu qua nội dung bài viết này, đồng thời áp dụng các cách thức giải này để làm các bài tập từ bỏ cơ bản đến nâng cấp về phương trình lượng giác.
I. Kim chỉ nan về Phương trình lượng giác
1. Phương trình sinx = a. (1)
° |a| > 1: Phương trình (1) vô nghiệm
° |a| ≤ 1: gọi α là một trong những cung thỏa sinα = a, khi ấy phương trình (1) có các nghiệm là:
x = α + k2π, ()
và x = π - α + k2π, ()
- Nếu α vừa lòng điều kiện
và sinα = a thì ta viết α = arcsina. Lúc đó các nghiệm của phương trình (1) là:x = arcsina + k2π, ()
và x = π - arcsina + k2π, ()
- Phương trình sinx = sinβ0 có các nghiệm là:
x = β0 + k3600, ()
và x = 1800 - β0 + k3600, ()
2. Phương trình cosx = a. (2)
° |a| > 1: Phương trình (2) vô nghiệm
° |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa cosα = a, khi đó phương trình (2) có các nghiệm là:
x = ±α + k2π, ()
- Nếu α thỏa mãn điều kiện 0 ≤ α ≤ π với cosα = a thì ta viết α = arccosa. Lúc đó các nghiệm của phương trình (2) là:
x = ±arccosa + k2π, ()
- Phương trình cosx = cosβ0 có các nghiệm là:
x = ±β0 + k3600, ()
3. Phương trình tanx = a. (3)
- Tập xác định, hay đk của phương trình (3) là:
- Nếu α vừa lòng điều kiện
- Nếu α thỏa mãn điều kiện
II. Những dạng toán về Phương trình lượng giác và phương thức giải
° Dạng 1: Giải phương trình lượng giác cơ bản
* Phương pháp
- Dùng những công thức nghiệm tương xứng với từng phương trình.
* lấy một ví dụ 1 (Bài 1 trang 28 SGK Đại số cùng Giải tích 11): Giải những phương trình sau:
a) b)
b)
d)
* giải thuật bài 1 trang 28 SGK Đại số cùng Giải tích 11:
a)
b)
c)
d)
* ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
a)
b)
c)
d)
° Lời giải:
a)
b)
c)
d)
° Dạng 2: Giải một trong những phương trình lượng giác chuyển được về dạng PT lượng giác cơ bản
* Phương pháp
- Dùng những công thức biến đổi để đưa về phương trình lượng giác đã mang lại về phương trình cơ bản như Dạng 1.
* lấy ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
a)
b)
c)
d)
° Lời giải:
a)
+ Với
hoặc+ với
hoặcb)
c)
d)
hoặc
* lưu ý: Bài toán trên áp dụng công thức:
* lấy ví dụ như 2: Giải các phương trình sau:
a)
b)
° Lời giải:
a)
hoặc với
b)
hoặc với
* lưu lại ý: bài toán áp dụng công thức biến hóa tích thành tổng:
* lấy ví dụ như 3: Giải các phương trình sau:
a)1 + 2cosx + cos2x = 0
b)cosx + cos2x + cos3x = 0
c)sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0
d)sin2x + sin22x = sin23x
° Lời giải:
a)
b)
c)
hoặc
hoặc
hoặc hoặc
hoặc hoặc với
d)
hoặc hoặc
* lưu giữ ý: Bài toán bên trên có áp dụng công thức chuyển đổi tổng thành tựu và công thức nhân đôi:
° Dạng 3: Phương trình số 1 có một hàm con số giác
* Phương pháp
- Đưa về dạng phương trình cơ bản, ví dụ:
* lấy một ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
a)
b)
° Lời giải:
a)
+ Với
+ Với
b)
hoặc
+ Với
+ Với
: vô nghiệm.° Dạng 4: Phương trình bậc hai có một hàm con số giác
* Phương pháp
♦ Đặt ẩn phụ t, rồi giải phương trình bậc hai đối với t, ví dụ:
+ Giải phương trình: asin2x + bsinx + c = 0;
+ Đặt t=sinx (-1≤t≤1), ta bao gồm phương trình at2 + bt + c = 0.
* giữ ý: Khi đặt t=sinx (hoặc t=cosx) thì phải bao gồm điều kiện: -1≤t≤1
* lấy ví dụ 1: Giải các phương trình sau
a)
b)
° Lời giải:
a)
- Đặt
ta có: 2t2 - 3t + 1 = 0⇔ t = 1 hoặc t = 1/2.
+ cùng với t = 1: sinx = 1
+ cùng với t=1/2:
hoặc
b)
+ Đặt
ta có: -4t2 + 4t + 3 = 0⇔ t = 3/2 hoặc t = -1/2.
+ t = 3/2 >1 đề xuất loại
+
* Chú ý: Đối với phương trình dạng: asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = 0, (a,b,c≠0). Phương thức giải như sau:
- Ta có: cosx = 0 không phải là nghiệm của phương trình do a≠0,
Chia 2 vế cho cos2x, ta có:atan2x + btanx + c = 0 (được PT bậc 2 cùng với tanx)
- nếu phương trình dạng: asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = d thì ta nạm d = d.sin2x + d.cos2x, và rút gọn đưa về dạng trên.
° Dạng 5: Phương trình dạng: asinx + bcosx = c (a,b≠0).
* Phương pháp
◊ phương pháp 1: Chia nhì vế phương trình cho , ta được:
- Nếu thì phương trình vô nghiệm
- Nếu thì đặt
(hoặc )
- Đưa PT về dạng: (hoặc ).
◊ giải pháp 2: Sử dụng công thức sinx với cosx theo ;
- Đưa PT về dạng phương trình bậc 2 so với t.
* lưu giữ ý: PT: asinx + bcosx = c, (a≠0,b≠0) gồm nghiệm lúc c2 ≤ a2 + b2
• Dạng tổng quát của PT là:asin
* Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a)
b)
° Lời giải:
a)
+ Ta có:
khi đó:
+ Đặt
ta có: cosφ.sinx + sinφ.cosx = 1.
b)
hoặc
hoặc
* lưu lại ý: bài xích toán áp dụng công thức:
° Dạng 6: Phương trình đối xứng với sinx và cosx
a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b≠0).
* Phương pháp
- Đặt t = sinx + cosx, lúc đó: thay vào phương trình ta được:
bt2 + 2at + 2c - b = 0 (*)
- lưu lại ý: nên điều kiện của t là:
- vì vậy sau khi tìm kiếm được nghiệm của PT (*) nên kiểm tra (đối chiếu) lại điều kiện của t.
- Phương trình dạng: a(sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = 0 không hẳn là PT dạng đối xứng tuy vậy cũng rất có thể giải bằng cách tương tự:
Đặt t = sinx - cosx;
* Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a) 2(sinx + cosx) - 4sinx.cosx - 1 = 0
b) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0
° Lời giải:
a) 2(sinx + cosx) - 4sinx.cosx - 1 = 0
+ Đặt t = sinx + cosx, , khi đó: thay vào phương trình ta được:
⇔ 2t2 - 2t - 1 = 0
hoặc
+ Với
+ Tương tự, với
b) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0
- Đặt t = sinx + cosx, , khi đó: thay vào phương trình ta được:
+ với t=1
hoặc
hoặc
+ Với : loại
III. Bài bác tập về các dạng toán Phương trình lượng giác
* Bài 2 (trang 28 SGK Đại số với Giải tích 11): Với hầu hết giá trị làm sao của x thì giá trị của những hàm số y = sin 3x với y = sin x bởi nhau?
° lời giải bài 2 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11:
- Ta có:
- Vậy với
thì* bài bác 3 (trang 28 SGK Đại số 11): Giải những phương trình sau:
a)
b)
c)
d)
° lời giải bài 3 trang 28 SGK Đại số với Giải tích 11:
a)
- Kết luận: PT bao gồm nghiệm
b) cos3x = cos12º
⇔ 3x = ±12º + k.360º , k ∈ Z
⇔ x = ±4º + k.120º , k ∈ Z
- Kết luận: PT có nghiệm x = ±4º + k.120º , k ∈ Z
c)
hoặc
hoặc
hoặc
d)
hoặc
hoặc
hoặc
* Bài 4 (trang 29 SGK Đại số với Giải tích 11): Giải phương trình
° lời giải bài 3 trang 28 SGK Đại số với Giải tích 11:
- Điều kiện: sin2x≠1
- Ta có:
+ Đến đây ta cần đối chiếu với điều kiện:
- Xét k lẻ tức là: k = 2n + 1
(thỏa điều kiện)
- Xét k chẵn tức là: k = 2n
(không thỏa ĐK)- Kết luận: Vậy PT bao gồm họ nghiệm là
* Bài 1 (trang 36 SGK Đại số cùng Giải tích 11): Giải phương trình: sin2x – sinx = 0
° lời giải bài 1 trang 36 SGK Đại số với Giải tích 11:
- Ta có: sin2x – sinx = 0
hoặc
- Kết luận: PT tất cả tập nghiệm
* bài bác 2 (trang 36 SGK Đại số và Giải tích 11): Giải các phương trình sau:
a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0
b) 2sin2x +
.sin4x = 0° lời giải bài 2 trang 36 SGK Đại số và Giải tích 11:
a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 (1)
- Đặt t = cosx, điều kiện: –1 ≤ t ≤ 1, lúc ấy PT (1) trở thành: 2t2 – 3t + 1 = 0