Tích phân bất định toán cao cấp

Mời chúng ta cùng xem thêm nội dung bài xích giảng Bài 2: Tích phân bất địnhsau trên đây để tò mò về tích phân những hàm hữu tỉ, tích phân biểu thức lượng giác, tích phân biểu thức gồm chứa căn.

Bạn đang xem: Tích phân bất định toán cao cấp


6. Tích phân các hàm hữu tỉ

6.1 Tích phân dạng

6.2 phân tích một đa thức thành tích của những nhị thức cùng tam thức

7. Tích phân biểu thức lượng giác

7.1 Trường thích hợp tổng quát

7.2 Dạng quánh biệt

8. Tích phân biểu thức bao gồm chứa căn


*

Nhắc lại:

(int fracdxx + a = ln left| x + a ight| + C)

(int fracdxleft( x + a ight)^k = frac - 1(k - 1)(x + a)^k - 1 + C)

(int fracdxx^2 - a^2 = frac12aln left| fracx - ax + a ight| + C)

(int fracdx(x - x_1)(x - x_2) = frac1x_2 - x_2int frac(x - x_1) - (x - x_2)(x - x_1)(x - x_2) dx)

(= frac1x_2 - x_2int left( frac1x - x_2 - frac1x - x_1 ight) dx)

( = frac1x_2 - x_2ln left| fracx - x_2x - x_1 ight| + C)


6.1 Tích phân dạng(I = int frac(Ax + B)dxax^2 + bx + c ,(a e 0))

(I = fracA2aint frac2ax + bax^2 + bx + c dx + left( B - fracAb2a ight)int fracdxax^2 + bx + c)


Tính:(I_1 = int fracdxax^2 + bx + c dx)

(I_1 = frac1aint fracdxx^2 + fracbax + fracca = frac1aint fracdxleft( x + fracb2a ight)^2 + fracca - fracb^24a^2)

(= frac1aint fracdxleft( x + fracb2a ight)^2 - fracDelta 4a^2)

i) Nếu(Delta

với(alpha ^2 = frac - Delta ^24a^2,u = x + fracb2a)

ii) Nếu(Delta = 0:I_1 = frac1aint fracduu^2 = - frac1au + C)

iii) Nếu(Delta > 0:ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2))

với (x_1,x_2) là nghiệm của(ax^2 + bx + c = 0)


6.2 so với môt nhiều thức thành tích của các nhị thức với tam thức


(Đưa một phân thức về tổng của không ít phân thức đối chọi giản)

Ghi chú: Ta chỉ xét các đa thức hoàn toàn có thể viết bên dưới dạng tích của rất nhiều nhị thức số 1 và đầy đủ tam thức bậc hai.

Ví dụ: Tính(I = int frac(3x - 5)dx(x - 3)(x + 2)(x - 1))

Ta có:(frac(3x - 5)dx(x - 3)(x + 2)(x - 1) = fracAx - 3 + fracBx + 2 + fracCx - 1)

(= fracA(x + 2)(x - 1) + B(x - 3)(x - 1) + C(x - 3)(x + 2)(x - 3)(x + 2)(x - 1))

Cho(x = 3 Rightarrow 10A = 4 Rightarrow A = frac25)

(x = - 2 Rightarrow 15B = - 11 Rightarrow B = - frac1115)

(x = 1 Rightarrow - 6C = - 2 Rightarrow C = frac13)

(Rightarrow frac3x - 5(x - 3)(x + 2)(x - 1) = frac25(x - 3) - frac1115(x + 2) + frac13(x - 1))

(Rightarrow I = frac25ln left| x - 3 ight| - frac1115ln left| x + 2 ight| + frac13ln left| x - 1 ight| + C)

Ghi chú: Ta rất có thể tính A, B theo phong cách khác:

(frac3x - 5(x - 3)(x + 2)(x - 1) = frac(A + B + C)x^2 + (A - 4B - C)x - 2A + 3B - 6C(x - 3)(x + 2)(x - 1))

Đồng độc nhất hai vế( Rightarrow left{ eginarrayl A + B + C = 0\ A - 4B - C = 3\ - 2A + 3B - 6C = - 5 endarray ight. )

Ghi chú: Nếu(a_nx^n + a_n - 1x^n - 1 + ... + a_1x + a_0 = 0)có nhiều hơn thế n nghiệm thực(Rightarrow a_n = a_n - 1 = .... = a_0 = 0)

Ví dụ:(ax^2 + bx + c = 0) gồm 3 nghiệm phân biệt( Rightarrow a=b=c=0)

Ví dụ 1:(frac5x + 2(x^2 + 1)(3x - 2)^3 = fracAx + Bx^2 + 1 + fracCx + D(x^2 + 1)^2 + fracE3x - 2 + fracF(3x - 2)^2 + fracG(3x - 2)^3)

Ví dụ 2:(frac6x^2 - 7x + 2(x^2 - x + 1)(x + 2)^4 = fracAx + Bx^2 - x + 1 + fracCx + 2 + fracD(x + 2)^2 + fracE(x + 2)^3 + fracF(x + 2)^4)

Ví dụ 3:(frac1x^4 + 1 = frac1(x^2 + 1)^2 - 2x^2 = frac1(x^2 - sqrt 2 x + 1)(x^2 + sqrt 2 x + 1) = fracAx + Bx^2 - sqrt 2 x + 1 + fracCx + Dx^2 + sqrt 2 x + 1)

Ví dụ 4: Tính(int fracdxx^3 + 1 = int fracdx(x + 1)(x^2 - x + 1))

(frac1x^3 + 1 = fracAx + 1 + fracBx + Cx^2 - x + 1 = fracA(x^2 - x + 1) + (Bx + C)(x + 1)x^3 + 1)

Cho(x = - 1 Rightarrow 3A = 1 Rightarrow A = frac13)

(x = 0 Rightarrow A + C = 1 Rightarrow C = frac23)

(x = 1 Rightarrow A + 2(B + C) = 1 Rightarrow B + C = frac13 Rightarrow B = - frac13)

(int fracdxx^3 + 1 = frac13int fracdxx + 1 + int fracleft( - frac13x + frac23 ight)dxx^2 - x + 1)

(= frac13ln left| x + 1 ight| - frac13.2int frac2x - 1x^2 - x + 1 dx + left( frac23 - frac16 ight)int fracdxx^2 - x + 1)

(= frac13ln left| x + 1 ight| - frac16ln (x^2 - x + 1) + frac12int fracdxleft( x - frac12 ight)^2 + frac34)

(= frac13ln frac x + 1 ightsqrt x^2 - x + 1 + frac12frac2sqrt 3 arctgfrac2(x - frac12)sqrt 3 + C)


Bằng các phép đổi biến chuyển thích hợp, ta có thể đưa tích phân biểu thức lượng giác(int R(mathop m sinx olimits ,,cosx)dx), trong đó R là hàm hữu tỷ, về tích phân biểu thức hữu tỷ.


Ta dùng phương pháp đổi biến(t = tgfracx2 Rightarrow x = 2arctg,t)và công thức

(mathop m sinx olimits = frac2t1 + t^2,,,cos x = frac1 - t^21 + t^2,,,dx = frac2dt1 + t^2)

Ví dụ:(I = int fracdx4sin x + 3mathop m cosx olimits + 5)

Đặt(t = tgfracx2 Rightarrow x = 2arctg,t)ta có:

(I = int frac14frac2t1 + t^2 + 3frac1 - t^21 + t^2 + 5 frac2dt1 + t^2 = int fracdtt^2 + 4t + 4)

(= int fracdt(t + 2)^2 = frac - 1t + 2 + C = - frac1tgfracx2 + 2 + C)


Nếu(R(- sinx,cosx) = - R(sin x, cosx)) thì đạt(t = cosx)Nếu(R(sinx, - cosx) = -R(sinx,cosx)) thì đặt(t = sinx)Nếu(R(- sinx, - cosx) = R(sinx,cosx)) thì đặt (t= tgx), hay( t = cotgx)

Ví dụ 1: Tính(I = int (sin ^2 xcos ^3x + 2mathop m cosx olimits )dx)

(= int (sin ^2 xcos ^3x + 2)mathop m cosxdx olimits)

Đặt(t = sinx Rightarrow dt = cosxdx)

(sin ^2xcos ^2x + 2 = t^2(1 - t^2) + 2 = - t^4 + t^2 + 2)

(I = int ( - t^4 + t^2 + 2)dt = - fract^55 + fract^33 + 2t + C)

(= frac - sin ^5x5 + fracsin ^3x3 + 2sin x + C)

Ví dụ 2:(I = int fracdxsin ^2x + sin 2x - 3cos ^2x)

Đặt(t = tgx Rightarrow dt = fracdxcos ^2x)ta có:

(I = int fracdxcos ^2x(tg^2x + 2tgx - 3) = int fracdtt^2 + 2t - 3 )

(= int fracdt(t - 1)(t + 3) = frac14 int left( frac1t - 1 - frac1t + 3 ight) dt)

(= frac14ln left| fract - 1t + 3 ight| + C = frac14ln left| fractg,x - 1tg,x + 3 ight| + C)

7.3 Dạng(int sin ^m xcos ^nxdx)

Nếu m ( hoặc n) là số nguyên lẻ thì đổi phát triển thành ( t = cosx)(hoặc (t = sinx)).Nếu m và n là số nguyên dương chẵn thì ta dùng công thức hạ bậc.Nếu m và n nguyên chẵn cùng có một vài âm thì đổi đổi mới (t = tgx)(hoặc(t = cotgx))

Ví dụ: Tính (dành mang đến độc giả)

(K = int sin ^2 xcos ^4xdx)

(L = int sin ^3 xcos ^2xdx)

(M = int fracsin ^2xcos ^4x dx)

(N = int fraccos ^2xsin ^4x dx)


Với những phép đổi đổi mới thích hợp, ta rất có thể đưa tích phân của biểu thức có căn số về tích phân của biến hóa hữu tỷ.

Xem thêm: 8 Bài Tập Dễ Có Bụng 6 Múi Nhất Chỉ Dùng Trọng Lượng Cơ Thể, Hướng Dẫn Tập Cơ Bụng Tại Nhà


Dạng(int Rleft< x,sqrt A^2 - x^2 ight> dx) đặt(x = Asin t,,t in left< - fracpi 2;fracpi 2 ight>)Dạng(int Rleft< x,sqrt A^2+x^2 ight> dx) đặt(x = Atg,t,,t in left( - fracpi 2;fracpi 2 ight))Dạng (int Rleft< x,sqrt x^2-A^2 ight> dx) để (x = fracAcos ,t,,t in left( 0,pi ight)ackslash left( fracpi 2 ight))

8.2 Dạng(int Rleft< x,sqrtleft( fracax + bcx + d ight)^m,sqrtleft( fracax + bcx + d ight)^r ight> dx)


Đặt(t^k = fracax + bcx + d)với k là bội số chung nhỏ nhất của n cùng s.

Khi đó(x = frac - dt^k + bct^k - a Rightarrow dx = kt^k - 1fracad - bc(ct^k - a)^2)thay vào biểu thức tích phân ta tất cả tích phân của hàm hữu tỷ.

Ví dụ 1:(I = int fracdxsqrt<3>x - 1 - sqrt<6>x - 1)

k = 6, đặt(t^6 = x - 1 Rightarrow dx = 6t^5dt). Suy ra

(I = int frac6t^5dtt^2 - t = int frac6t^4dtt - 1 = 6int left( t^3 + t^2 + t + 1 + frac1t - 1 ight) dt)

(= 6int left< ight> + C)

(= frac3(x - 1)^2/32 + 2(x - 1)^1/2 + 3(x - 1)^1/3 + 6sqrt<6>x - 1 + 6ln left| sqrt<6>x - 1 - 1 ight| + C)

Ví dụ 2:(I = int frac1x sqrt frac1 - x1 + x dx)

Đặt(t = sqrt frac1 - x1 + x Rightarrow x = frac - t^2 + 1t^2 + 1;,dx = frac - 4t(t^2 + 1)^2dt)

(I = int fract^2 + 1 - t^2 + 1 tfrac - 4t(t^2 + 1)^2dt = 4int fract(t^2 - 1)(t^2 + 1) dt)

(= 2int left< frac1t^2 + 1 + frac1t^2 - 1 ight> = 2arctg,t, + ,ln left| fract - 1t + 1 ight| + C)

(= 2arctg,t,sqrt frac1 - x1 + x + ln left| fracsqrt frac1 - x1 + x - 1sqrt frac1 - x1 + x + 1 ight| + C)


với(a e 0,Delta = b^2 - 4ac e 0)

i. Đưa tích phân vẫn xét về những dạng(int Rleft< x,sqrt A^2 + x^2 ight> dx,,,int Rleft< x,sqrt x^2 - A^2 ight> dx )bằng phép biến chuyển đổi(u = x + fracb2a). Lúc đó những tích phân này hoàn toàn có thể đưa về tích phân hàm vị giác.

Ví dụ:(int fracdx(x + 2)^2sqrt x^2 + 4x + 13 )

Đặt(x + 2 = 3tgt,t in left( - fracpi 2;fracpi 2 ight) Rightarrow dx = 3fracdtcos ^2t)

Vì(t in left( - fracpi 2;fracpi 2 ight))nên sin t cùng tgt thuộc dấu(sin t = fractgtsqrt 1 + tg^2t )

(I = int frac3dtcos ^2t frac19tg^2tsqrt 9tg^2t + 9 = frac19int fraccos t,dtsin ^2t = frac - 19sin t + C)

(= frac - sqrt left( fracx + 23 ight)^2 + 1 9left( fracx + 23 ight) + C = - fracsqrt x^2 + 4x + 13 9(x + 2) + C)

Nhận xét:

Đối với tích phân dạng(int fracdx(x - alpha )^nsqrt ax^2 + bx + c )ta rất có thể đổi biến theo công thức(t = frac1x - alpha )Đối với tích phân dạng(int fracduusqrt u^2 + A )ta hoàn toàn có thể đổi biến đổi theo công thức(t = sqrt u^2 + A Rightarrow t^2 - A = u^2 Rightarrow udu = tdt)

(Rightarrow I = int fracuduu^2sqrt u^2 + A = int fracdtt^2 - A)

ii. Cách thức đổi biến chuyển theo Euler

Nếu a > 0 : đổi biến(t pm sqrt a x = sqrt ax^2 + bx + c)Nếu c > 0 : đổi biến(xt pm sqrt c = sqrt ax^2 + bx + c )Nếu(ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2),x_1 e x_2)ta đổi đổi thay theo công thức

Ví dụ 1:(I = int fracdxsqrt (x^2 + 2x + 5)^3 )

Đặt(u = x + 1 Rightarrow du = dx,,I = int fracdusqrt (u^2 + 4)^3 )

Đặt(u = 2tgt,,t in left( - fracpi 2,fracpi 2 ight) Rightarrow du = 2fracdtcos ^2t)

(left( u^2 + 4 ight)^3/2 = 8left( tg^2t + 1 ight)^3/2 = frac8cos ^3t)

(I = int frac2dtcos ^2tfrac8cos ^3t = frac14int cos t,dt = frac14sin t + C)

(= frac14sin left( arctgfracu2 ight) + C = frac14sin left( arctgfracx + 12 ight) + C)

Ví dụ 2:(I = int fracdxsqrt x^2 + 2x + 5 )

Đặt(t - x = sqrt x^2 + 2x + 5 Rightarrow t = x + sqrt x^2 + 2x + 5)

(Rightarrow dt = fracsqrt x^2 + 2x + 5 + x + 1sqrt x^2 + 2x + 5 dx Rightarrow fracdxsqrt x^2 + 2x + 5 = fracdtt + 1)

(I = int fracdtt + 1 = ln left| t + 1 ight| + C = ln left| x + sqrt x^2 + 2x + 5 + 1 ight| + C)

Ví dụ 3:(I = int frac3x + 1sqrt x^2 + 4x + 3 dx)

Đặt(t = x + 2 Rightarrow dt = dx)

(I = int fracleft( 3t - 5 ight)dtsqrt t^2 - 1 = 3int fractdtsqrt t^2 - 1 - 5int fracdtsqrt t^2 - 1 )

(= 3sqrt t^2 - 1 - 5ln left| t + sqrt t^2 - 1 ight| + C)

(= 3sqrt (x + 2)^2 - 1 + 5ln left| x + 2 + sqrt (x + 2)^2 - 1 ight| + C)